הנרי סגרמן: הרמוניה חומרית במתמטיקה

2024 מְחַבֵּר: Seth Attwood | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-16 16:05

לפי האגדה, פיתגורס היה הראשון שגילה ששני מיתרים מתוחים באותה מידה פולטים צליל נעים אם אורכיהם קשורים כמספרים שלמים קטנים. מאז, אנשים הוקסמו מהחיבור המסתורי בין יופי למתמטיקה, הרמוניה חומרית לחלוטין של צורות, רעידות, סימטריה – והפשטה מושלמת של מספרים ויחסים.

הקשר הזה הוא ארעי, אבל מוחשי, לא בכדי אמנים משתמשים בחוקי הגיאומטריה כבר שנים רבות ושואבים השראה מחוקים מתמטיים. הנרי סגרמן התקשה לזנוח את מקור הרעיונות הזה: אחרי הכל, הוא מתמטיקאי במקצועו ובמקצועו.

בקבוק קליין "על ידי הדבקה נפשית של הקצוות של שתי רצועות מוביוס", אומר הנרי סגרמן, "אפשר להשיג בקבוק קליין, שגם לו משטח אחד. כאן אנו רואים בקבוק קליין עשוי מרצועות מוביוס עם קצה עגול.

במקום זאת, איך זה עשוי להיראות בחלל תלת מימדי. מכיוון שרצועות המוביוס ה"עגולות" המקוריות מגיעות לאינסוף, אז בקבוק קליין כזה ימשיך עד אינסוף פעמיים ויצלב את עצמו, מה שניתן לראות בפסל". עותק מוגדל של הפסל הזה מעטר את המחלקה למתמטיקה וסטטיסטיקה באוניברסיטת מלבורן.

פרקטלים

"נולדתי למשפחה של מדענים, ואני חושב שהעניין שלי בכל דבר שדורש חשיבה מרחבית מתקדמת קשור לזה", אומר הנרי. כיום הוא כבר בוגר לימודי התואר השני והדוקטורט של אוקספורד באוניברסיטאות סטנפורד, וממלא תפקיד של פרופסור חבר באוניברסיטת אוקלהומה.

אבל קריירה מדעית מצליחה היא רק צד אחד באישיותו הרב-גונית: לפני יותר מ-12 שנים, המתמטיקאי החל לארגן אירועי אמנות … בעולם הוירטואלי של Second Life.

סימולטור תלת מימדי זה עם אלמנטים של רשת חברתית היה אז פופולרי מאוד, ואיפשר למשתמשים לא רק לתקשר זה עם זה, אלא גם לצייד את ה"אווטרים" הווירטואליים שלהם ואזורים לבידור, עבודה וכו'.

שם: הנרי סגרמן

יליד 1979

השכלה: אוניברסיטת סטנפורד

עיר: סטילווטר, ארה ב

מוטו: "קח רק רעיון אחד, אבל הראה אותו בצורה ברורה ככל האפשר".

סגרמן הגיע לכאן, חמוש בנוסחאות ובמספרים, וסידר את עולמו הווירטואלי בצורה מתמטית, ומילא אותו בדמויות פרקטליות חסרות תקדים, ספירלות ואפילו סרקטים, היפרקוביות ארבע-ממדיות. "התוצאה היא הקרנה של היפרקוביה ארבע-ממדית ביקום התלת-ממדי של Second Life - שהוא עצמו הקרנה של עולם וירטואלי תלת-ממדי על מסך דו-ממדי שטוח", מציין האמן.

העקומה של הילברט: קו מתמשך ממלא את חלל הקוביה, לעולם אינו מפריע או מצטלב עם עצמו.

עקומות הילברט הן מבנים פרקטליים, ואם מתקרבים, אפשר לראות שחלקים מהעקומה הזו עוקבים אחר צורת השלם. "ראיתי אותם אלפי פעמים באיורים ובדגמים ממוחשבים, אבל כשלקחתי לראשונה פסל תלת מימדי כזה בידיים, שמתי לב מיד שהוא גם קפיצי", אומר סגרמן. "ההתגלמות הפיזיקלית של מושגים מתמטיים תמיד מפתיעה עם משהו."

עם זאת, הוא אהב הרבה יותר לעבוד עם פסלי חומר. "יש כמויות אדירות של מידע שמסתובבות סביבנו כל הזמן", אומר סגרמן. - למרבה המזל, לעולם האמיתי יש רוחב פס גדול מאוד, שעדיין אינו זמין ברשת.

תן לאדם דבר גמור, צורה אינטגרלית - והוא יתפוס אותו מיד על כל מורכבותו, מבלי לחכות לטעינה. אז מאז 2009, סגרמן יצר קצת יותר ממאה פסלים, וכל אחד מהם הוא התגלמות חזותית ועד כמה שניתן, מדוייקת של מושגים וחוקים מתמטיים מופשטים.

פוליהדרה

האבולוציה של הניסויים האמנותיים של סגרמן בהדפסת תלת מימד חוזרת באופן מוזר על האבולוציה של רעיונות מתמטיים. בין הניסויים הראשונים שלו היו המוצקים האפלטוניים הקלאסיים, קבוצה של חמש דמויות סימטריות, מקופלות במשולשים רגילים, מחומשים ומרובעים. אחריהם הגיעו פולי-הדרות רגילות למחצה - 13 מוצקים ארכימדיים, שפניהם נוצרים על ידי מצולעים סדירים לא שווים.

דגם תלת מימד של ארנב סטנפורד שנוצר בשנת 1994. מורכב מכמעט 70,000 משולשים, הוא משמש כמבחן פשוט ופופולרי לביצועים של אלגוריתמי תוכנה. לדוגמה, על ארנב, אתה יכול לבדוק את היעילות של דחיסת נתונים או החלקת משטח עבור גרפיקה ממוחשבת.

לכן, עבור מומחים, טופס זה זהה לביטוי "תאכל עוד מהלחמניות הצרפתיות הרכות האלה" למי שאוהב לשחק עם גופני מחשב. הפסל של סטנפורד באני הוא אותו דגם, שמשטחו מרוצף באותיות המילה ארנב.

כבר הצורות הפשוטות הללו, לאחר שנדדו מאיורים דו מימדיים ומעולם הדמיון האידיאלי למציאות תלת מימדית, מעוררות הערצה פנימית ליופיין הלקוני והמושלם. היחס בין יופי מתמטי ליופי של יצירות אמנות חזותיות או קוליות נראה לי שביר מאוד.

אחרי הכל, אנשים רבים מודעים מאוד לצורה אחת של היופי הזה, לגמרי לא מבינים את השני. אפשר לתרגם רעיונות מתמטיים לצורות גלויות או קוליות, אבל לא את כולם, ולא כמעט בקלות כמו שזה נראה , מוסיף סגרמן.

עד מהרה, צורות מורכבות יותר ויותר עקבו אחר הדמויות הקלאסיות, עד לאלו שארכימדס או פיתגורס בקושי יכלו לחשוב עליהן - פוליהדרות רגילות הממלאות את החלל ההיפרבולי של לובצ'בסקי ללא מרווח.

אי אפשר לדמיין דמויות כאלה עם שמות מדהימים כמו "חלת דבש טטרהדרלית בסדר 6" או "חלת דבש פסיפס משושה" ללא תמונה ויזואלית בהישג יד. או - אחד מהפסלים של סגרמן, המייצגים אותם במרחב האוקלידי התלת מימדי הרגיל שלנו.

מוצקים אפלטוניים: טטרהדרון, אוקטהדרון ואיקוסהדרון מקופלים במשולשים רגילים, וכן קובייה ואיקוסהדרון המורכבים מריבועים המבוססים על מחומשים.

אפלטון עצמו קשר אותם לארבעה יסודות: חלקיקים אוקטהדרלים "חלקים", לדעתו, אוויר מקופל, איקוסהדרונים "נוזלים" - מים, קוביות "צפופות" - אדמה, וטרטרהדרונים חדים ו"קוצניים" - אש. היסוד החמישי, הדודקהדרון, נחשב בעיני הפילוסוף לחלקיק מעולם הרעיונות.

עבודתו של האמן מתחילה בדגם תלת מימדי, אותו הוא בונה בחבילת הקרנף המקצועית. בגדול, ככה זה נגמר: ייצור הפסלים עצמו, הדפסת הדגם במדפסת תלת מימד, הנרי פשוט מזמין דרך Shapeways, קהילה מקוונת גדולה של חובבי הדפסת תלת מימד, ומקבל אובייקט מוגמר העשוי מפלסטיק או ברונזה מרוכבים מתכתיים מבוססי ברונזה. "זה מאוד קל," הוא אומר. "אתה פשוט מעלה דגם לאתר, לחץ על כפתור הוסף לעגלה, בצע הזמנה, ובתוך שבועיים הוא יישלח אליך בדואר."

איור שמיני משלים דמיין שאתה קושר קשר בתוך מוצק ואז מסיר אותו; החלל הנותר נקרא המשלים של הצומת. דגם זה מציג תוספת של אחד הקשרים הפשוטים ביותר, הדמות השמונה.

יוֹפִי

בסופו של דבר, האבולוציה של הפסלים המתמטיים של סגרמן לוקחת אותנו אל השדה המורכב והמהפנט של הטופולוגיה. ענף זה של המתמטיקה חוקר את התכונות והעיוותים של משטחים שטוחים וחללים בעלי ממדים שונים, ומאפיינים הרחבים יותר חשובים עבורו מאשר עבור גיאומטריה קלאסית.

כאן אפשר להפוך בקלות קוביה לכדור, כמו פלסטלינה, ולגלגל כוס עם ידית לסופגנייה מבלי לשבור בה שום דבר חשוב – דוגמה ידועה שמגולמת בבדיחה הטופולוגית האלגנטית של סגרמן.

הטסרקט הוא קובייה ארבע ממדית: כשם שניתן לקבל ריבוע על ידי הזזת קטע בניצב אליו במרחק שווה לאורכו, ניתן לקבל קובייה על ידי העתקה דומה של ריבוע בתלת מימד, ועל ידי הזזת קובייה. ברביעי, "נצייר" טסרקט, או היפרקוב. יהיו לו 16 קודקודים ו-24 פנים, שהקרנות שלהם לתוך המרחב התלת מימדי שלנו נראות מעט כמו קובייה תלת מימדית רגילה.

"במתמטיקה, החוש האסתטי חשוב מאוד, מתמטיקאים אוהבים" משפטים יפים, - טוען האמן. - קשה לקבוע ממה בדיוק מורכב היופי הזה, כמו, אכן, במקרים אחרים. אבל הייתי אומר שהיופי של המשפט הוא בפשטות שלו, שמאפשרת להבין משהו, לראות כמה קשרים פשוטים שנראו בעבר מורכבים להפליא.

בלב היופי המתמטי יכול להיות מינימליזם טהור ויעיל - וקריאה מופתעת של "אה!". היופי העמוק של המתמטיקה יכול להיות מרתיע כמו הנצח הקפוא של ארמון מלכת השלג. עם זאת, כל ההרמוניה הקרה הזו משקפת תמיד את הסדר והסדירות הפנימית של היקום שבו אנו חיים. מתמטיקה היא רק שפה שמתאימה ללא ספק לעולם האלגנטי והמורכב הזה.

באופן פרדוקסלי, הוא מכיל התכתבויות פיזיקליות ויישומים כמעט לכל אמירה בשפת הנוסחאות והיחסים המתמטיים. אפילו המבנים המופשטים וה"מלאכותיים" ביותר ימצאו במוקדם או במאוחר יישום בעולם האמיתי.

בדיחה טופולוגית: מנקודת מבט מסוימת, המשטחים של עיגול וסופגנייה הם "זהים", או ליתר דיוק, הם הומיאומורפיים, מכיוון שהם מסוגלים להפוך אחד לשני ללא הפסקות ודבקים, עקב דפורמציה הדרגתית.

הגיאומטריה האוקלידית הפכה לשיקוף של העולם הנייח הקלאסי, חשבון דיפרנציאלי היה שימושי לפיזיקה הניוטונית. המדד הרימני המדהים, כפי שהתברר, נחוץ כדי לתאר את היקום הלא יציב של איינשטיין, ומרחבים היפרבוליים רב-ממדיים מצאו יישום בתורת המיתרים.

בהתכתבות המוזרה הזו של חישובים ומספרים מופשטים ליסודות המציאות שלנו, טמון אולי סוד היופי שאנו חשים בהכרח מאחורי כל החישובים הקרים של מתמטיקאים.