כלל לאונרדו - מדוע עובי הענפים מציית לתבנית?

2024 מְחַבֵּר: Seth Attwood | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-16 16:05

הגזע החינני של העץ מחולק לענפים, בהתחלה מעטים וחזקים, ואלו לענפים יותר ויותר דקים. זה כל כך יפה וכל כך טבעי שכמעט אף אחד מאיתנו לא שם לב לדפוס פשוט. העובדה היא שהעובי הכולל של הענפים בגובה מסוים תמיד שווה לעובי הגזע.

לעובדה זו הבחין כבר לפני 500 שנה על ידי לאונרדו דה וינצ'י, שכידוע לך היה מאוד שומר מצוות. מערכת היחסים הזו כונתה "הכלל של לאונרדו" ובמשך זמן רב אף אחד לא הצליח להבין למה זה קורה.

בשנת 2011, הפיזיקאי כריסטוף אלוי מאוניברסיטת קליפורניה, הציע הסבר מוזר משלו.

"כלל לאונרדו" נכון כמעט לכל מיני העצים המוכרים. גם יוצרי משחקי המחשב היוצרים מודלים תלת מימדיים ריאליסטיים של עצים מודעים לכך. ליתר דיוק, הלכה זו קובעת כי במקום שבו גזוע הגזע או הענף, סכום מקטעי הענפים המפוצלים יהיה שווה לחתך הענף המקורי. כאשר אז גם ענף זה מתפצל, סכום הקטעים של ארבעת הענפים שלו עדיין יהיה שווה לקטע של הגזע המקורי. וכו.

כלל זה כתוב בצורה מתמטית בצורה אפילו יותר אלגנטית. אם גזע בקוטר D מחולק למספר שרירותי של ענפים n בקטרים d1, d2 וכן הלאה, סכום הקוטרים בריבוע שלהם יהיה שווה לריבוע קוטר הגזע. לפי הנוסחה: D2 = ∑di2, כאשר i = 1, 2,… n. בחיים האמיתיים, התואר לא תמיד שווה בהחלט לשניים ויכול להשתנות בין 1, 8-2, 3, בהתאם למוזרויות הגיאומטריה של עץ מסוים, אבל באופן כללי, התלות נשמרת בקפדנות.

לפני עבודתו של אלוי, הגרסה העיקרית נחשבה לקיומו של קשר בין שלטונו של לאונרדו לבין התזונה של עצים. כדי להסביר תופעה זו הציעו בוטנאים שיחס זה הוא אופטימלי למערכת הצינורות שדרכם עולים מים משורשי העץ אל העלווה. הרעיון נראה סביר למדי, ולו רק בגלל ששטח החתך, שקובע את תפוקת הצינור, תלוי ישירות בריבוע הרדיוס. עם זאת, הפיזיקאי הצרפתי כריסטוף אלוי אינו מסכים לכך - לדעתו, דפוס כזה אינו קשור למים, אלא לאוויר.

כדי לבסס את גרסתו, המדען יצר מודל מתמטי המחבר את שטח העלווה של עץ עם כוח הרוח הפועל על הפסקה. העץ בו תואר כמקובע בנקודה אחת בלבד (מקום היציאה המותנית של הגזע מתחת לאדמה), ומייצג מבנה פרקטלי מסועף (כלומר, כזה שבו כל אלמנט קטן יותר הוא מדויק פחות או יותר עותק של הישן יותר).

בהוספת לחץ רוח לדגם זה, אלוי הציג אינדיקטור קבוע מסוים של הערך המגביל שלו, שלאחריו הענפים מתחילים להישבר. על סמך זה ערך חישובים שיראו את העובי האופטימלי של הענפים המסועפים, כך שההתנגדות לכוח הרוח תהיה הטובה ביותר. ומה - הוא הגיע בדיוק לאותה מערכת יחסים, כשהערך האידיאלי של אותו ערך נע בין 1, 8 ו-2, 3.

הפשטות והאלגנטיות של הרעיון והוכחתו כבר זכו להערכה על ידי מומחים. לדוגמה, מהנדס מסצ'וסטס פדרו רייס מעיר: "המחקר מציב עצים בגובה של מבנים מלאכותיים שתוכננו במיוחד כדי לעמוד בפני הרוח - הדוגמה הטובה ביותר לכך היא מגדל אייפל". נותר לחכות למה יגידו הבוטנאים על כך.

"אלה השתמש בגישה מכנית פשוטה בעבודתו.הוא ראה בעץ פרקטל (דמות בעלת מידה מסוימת של דמיון עצמי), כאשר כל ענף מעוצב כאלורה עם קצה חופשי. בהנחות אלו (וגם בתנאי שההסתברות לשבירת ענף בהשפעת הרוח היא קבועה בזמן), התברר שחוק לאונרדו ממזער את ההסתברות שענפי עצים ישברו בלחץ הרוח". עמיתיו של אלוי, בסך הכל, הסכימו לחישוביו ואף הצהירו כי ההסבר די פשוט וברור, אך משום מה אף אחד לא חשב עליו קודם.