צורה שטוחה, כדורית או היפרבולית של היקום שלנו?

2024 מְחַבֵּר: Seth Attwood | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-16 16:05

בעינינו, היקום הוא אינסופי. היום אנחנו יודעים שלכדור הארץ יש צורה של כדור, אבל לעתים רחוקות אנחנו חושבים על צורת היקום. בגיאומטריה יש הרבה צורות תלת מימדיות כחלופה למרחב האינסופי ה"מוכר". המחברים מסבירים את ההבדל בצורה הנגישה ביותר.

כשמסתכלים על שמי הלילה, נראה שהחלל נמשך לנצח לכל הכיוונים. כך אנו מדמיינים את היקום - אך לא את העובדה שהוא נכון. אחרי הכל, הייתה תקופה שבה כולם חשבו שכדור הארץ שטוח: עקמומיות פני כדור הארץ לא מורגשת, והרעיון שכדור הארץ עגול נראה בלתי מובן.

היום אנחנו יודעים שכדור הארץ הוא בצורת כדור. אך לעתים רחוקות אנו חושבים על צורת היקום. כאשר הכדור החליף את כדור הארץ השטוח, צורות תלת מימד אחרות מציעות חלופות למרחב האינסופי ה"מוכר".

ניתן לשאול שתי שאלות לגבי צורת היקום - נפרדות אך קשורות זו בזו. האחד עוסק בגיאומטריה - חישובים מדוקדקים של זוויות ושטחים. אחר עוסק בטופולוגיה: כיצד חלקים נפרדים מתמזגים לצורה אחת.

נתונים קוסמולוגיים מצביעים על כך שהחלק הגלוי של היקום הוא חלק והומוגני. המבנה המקומי של החלל נראה כמעט זהה בכל נקודה ולכל כיוון. רק שלוש צורות גיאומטריות מתאימות למאפיינים אלה - שטוחה, כדורית והיפרבולית. בואו נסתכל על הצורות הללו בתורן, כמה שיקולים טופולוגיים ומסקנות המבוססות על נתונים קוסמולוגיים.

יקום שטוח

למעשה, זוהי גיאומטריה בית ספרית. הזוויות של משולש מסתכמות ב-180 מעלות, ושטח המעגל הוא πr2. הדוגמה הפשוטה ביותר לצורה תלת מימדית שטוחה היא מרחב אינסופי רגיל, מתמטיקאים קוראים לו אוקלידי, אבל יש אפשרויות שטוחות אחרות.

לא קל לדמיין את הצורות הללו, אבל אנחנו יכולים לחבר את האינטואיציה שלנו על ידי חשיבה בדו מימד במקום בשלושה. בנוסף למישור האוקלידי הרגיל, נוכל ליצור צורות שטוחות אחרות על ידי חיתוך חתיכה מהמישור והדבקת הקצוות שלו. נניח שגזרנו פיסת נייר מלבנית ונדבק את הקצוות הנגדיים שלה בסרט. אם מדביקים את הקצה העליון לקצה התחתון, מקבלים גליל.

אפשר גם להדביק את הקצה הימני לשמאל - אז נקבל סופגנייה (מתמטיקאים קוראים לצורה הזו טורוס).

סביר להניח שתתנגד: "משהו לא מאוד שטוח". ואתה תהיה צודק. בגדנו קצת לגבי הטורוס השטוח. אם אתה באמת מנסה לעשות טורוס מפיסת נייר בצורה כזו, אתה תיתקל בכמה קשיים. קל להכין גליל, אבל זה לא יעבוד להדביק את הקצוות שלו: הנייר יתמוטט לאורך המעגל הפנימי של הטורוס, אבל זה לא יספיק לעיגול החיצוני. אז אתה צריך לקחת סוג של חומר אלסטי. אבל מתיחה משנה את האורך והזוויות, ולכן את הגיאומטריה כולה.

אי אפשר לבנות טורוס פיזי חלק אמיתי מחומר שטוח בתוך חלל תלת מימדי רגיל מבלי לעוות את הגיאומטריה. נותר להעלות השערות מופשטות לגבי איך זה לחיות בתוך טורוס שטוח.

דמיינו שאתם יצור דו מימדי שהיקום שלו הוא טורוס שטוח. מכיוון שצורתו של היקום הזה מבוססת על דף נייר שטוח, כל העובדות הגיאומטריות שאנו רגילים נשארות זהות - לפחות בקנה מידה מוגבל: זוויות משולש מסתכמות ב-180 מעלות, וכן הלאה. אבל עם השינוי בטופולוגיה העולמית באמצעות חיתוך והדבקה, החיים ישתנו באופן דרמטי.

מלכתחילה, לטורוס יש קווים ישרים המתלפפים וחוזרים לנקודת ההתחלה.

על טורוס מעוות, הם נראים מעוקלים, אבל לתושבי טורוס שטוח הם נראים ישרים. ומכיוון שהאור נע בקו ישר, אז אם תסתכל ישירות לכל כיוון, תראה את עצמך מאחור.

זה כאילו, על פיסת הנייר המקורית, אור עבר דרכך, עבר לקצה השמאלי, ואז הופיע שוב בצד ימין, כמו במשחק וידאו.

הנה עוד דרך לחשוב על זה: אתם (או קרן אור) חוצים את אחד מארבעת הקצוות ומוצאים את עצמכם בחדר חדש, אבל למעשה זה אותו חדר, רק מנקודת מבט אחרת. בשיטוט ביקום כזה, תיתקל במספר אינסופי של עותקים של החדר המקורי.

המשמעות היא שתקחו מספר אינסופי של עותקים של עצמכם לאן שלא תסתכלו. זהו סוג של אפקט מראה, רק שהעותקים הללו אינם בדיוק השתקפויות.

על הטורוס, כל אחד מהם מתאים ללולאה כזו או אחרת, שלאורכה האור חוזר אליך.

באותו אופן, אנו מקבלים טורוס תלת מימדי שטוח על ידי הדבקת הפנים ההפוכות של קובייה או קופסה אחרת. לא נוכל לתאר את החלל הזה בתוך חלל אינסופי רגיל – הוא פשוט לא יתאים – אבל נוכל לשער באופן מופשט על החיים בתוכו.

אם החיים בטורוס דו מימדי הם כמו מערך דו מימדי אינסופי של חדרים מלבניים זהים, אז החיים בטורוס תלת מימדי הם כמו מערך תלת מימדי אינסופי של חדרים מעוקבים זהים. גם אתה תראה מספר אינסופי של עותקים משלך.

הטורוס התלת מימדי הוא רק אחת מעשר גרסאות של העולם השטוח הסופי. יש גם אינסוף עולמות שטוחים - למשל אנלוג תלת מימדי של גליל אינסופי. לכל אחד מהעולמות הללו יהיה "חדר צחוק" משלו עם "הרהורים".

האם היקום שלנו יכול להיות אחת הצורות השטוחות?

כאשר אנו מביטים אל החלל, איננו רואים מספר אינסופי של עותקים משלנו. בלי קשר, ביטול צורות שטוחות אינו קל. ראשית, לכולם אותה גיאומטריה מקומית כמו המרחב האוקלידי, כך שלא ניתן יהיה להבחין ביניהם במדידות מקומיות.

נניח שאפילו ראיתם עותק משלכם, התמונה המרוחקת הזו רק מראה איך נראיתם (או הגלקסיה שלכם כולה) בעבר הרחוק, שכן האור עבר דרך ארוכה עד שהגיע אליכם. אולי אנחנו אפילו רואים את העותקים שלנו - אבל השתנו ללא הכר. יתרה מכך, עותקים שונים נמצאים במרחקים שונים ממך, כך שהם אינם דומים. וחוץ מזה, כל כך רחוק שעדיין לא נראה כלום.

כדי לעקוף את הקשיים הללו, אסטרונומים בדרך כלל לא מחפשים עותקים של עצמם, אלא מאפיינים חוזרים בתופעה הנראית הרחוקה ביותר - קרינת הרקע הקוסמית של המיקרוגל, זהו שריד מהמפץ הגדול. בפועל, זה אומר לחפש זוגות של עיגולים עם דוגמאות תואמות של נקודות חמות וקרה - ההנחה היא שהם זהים, רק מצדדים שונים.

אסטרונומים ערכו חיפוש כזה בדיוק בשנת 2015 הודות לטלסקופ החלל פלאנק. הם חיברו נתונים על סוגי המעגלים המקריים שאנו מצפים לראות בתוך טורוס 3D שטוח או צורה 3D שטוחה אחרת - מה שנקרא לוח - אבל הם לא מצאו דבר. משמעות הדבר היא שאם אנו חיים בטורוס, נראה שהוא כל כך גדול עד שכל השברים החוזרים נמצאים מחוץ ליקום הנצפה.

צורה כדורית

אנחנו מכירים היטב כדורים דו-ממדיים - זה פני השטח של כדור, תפוז או כדור הארץ. אבל מה אם היקום שלנו הוא כדור תלת מימדי?

קשה לצייר כדור תלת מימדי, אבל קל לתאר אותו באנלוגיה פשוטה. אם כדור דו מימדי הוא אוסף של כל הנקודות במרחק קבוע מנקודה מרכזית כלשהי במרחב תלת מימדי רגיל, כדור תלת מימדי (או "טריספרה") הוא אוסף של כל הנקודות במרחק קבוע מכמה נקודה מרכזית בחלל ארבע ממדי.

החיים בתוך טריספרה שונים מאוד מחיים בחלל שטוח. כדי לדמיין את זה, דמיינו שאתם ישות דו מימדית בספירה דו מימדית. הכדור הדו-ממדי הוא היקום כולו, לכן אינכם יכולים לראות את המרחב התלת-ממדי המקיף אתכם ואינם יכולים להיכנס אליו. ביקום הכדורי הזה, האור נע בנתיב הקצר ביותר: במעגלים גדולים. אבל המעגלים האלה נראים לך ישרים.

עכשיו תאר לעצמך שאתה והחבר הדו-ממדי שלך מבלים בקוטב הצפוני, והוא יצא לטייל. אם מתרחקים, בהתחלה זה יקטן בהדרגה במעגל החזותי שלך - כמו בעולם הרגיל, אם כי לא מהר כמו שאנחנו רגילים. הסיבה לכך היא שככל שהמעגל החזותי שלך גדל, החבר שלך תופס פחות ופחות ממנו.

אבל ברגע שהחבר שלך חוצה את קו המשווה, משהו מוזר קורה: הוא מתחיל להגדיל את גודלו, למרות שלמעשה הוא ממשיך להתרחק. הסיבה לכך היא שהאחוז שהם תופסים במעגל החזותי שלך הולך וגדל.

שלושה מטרים מהקוטב הדרומי, החבר שלך ייראה כאילו הוא עומד שלושה מטרים ממך.

כשהגעת לקוטב הדרומי, הוא ימלא לחלוטין את כל האופק הגלוי שלך.

וכשאין אף אחד בקוטב הדרומי, האופק החזותי שלך יהיה מוזר עוד יותר - זה אתה. הסיבה לכך היא שהאור שאתה פולט יתפשט בכל הכדור עד שהוא יחזור.

זה משפיע ישירות על החיים בתחום התלת מימד. לכל נקודה בטריספרה יש הפוך, ואם יש שם עצם, נראה אותו בכל השמים. אם אין שם כלום, נראה את עצמנו ברקע - כאילו המראה שלנו הועלה על בלון, ואז התהפך מבפנים החוצה ונופח לכל האופק.

אבל למרות שהטריספרה היא המודל הבסיסי לגיאומטריה כדורית, היא רחוקה מלהיות המרחב היחיד האפשרי. כפי שבנינו דגמים שטוחים שונים על ידי חיתוך והדבקה של חלקים של מרחב אוקלידי, כך נוכל לבנות מודלים כדוריים על ידי הדבקת חתיכות טריספרה מתאימות. לכל אחת מהצורות המודבקות הללו תהיה, כמו הטורוס, אפקט של "חדר צחוק", רק מספר החדרים בצורות כדוריות יהיה סופי.

מה אם היקום שלנו הוא כדורי?

אפילו הנרקיסיסטים מבינינו אינם רואים את עצמנו כרקע במקום שמי הלילה. אבל, כמו במקרה של טורוס שטוח, זה שאנחנו לא רואים משהו לא אומר בכלל שהוא לא קיים. הגבולות של יקום כדורי יכולים להיות גדולים מגבולות העולם הנראה, והרקע פשוט אינו נראה לעין.

אבל בניגוד לטורוס, ניתן לזהות יקום כדורי באמצעות מדידות מקומיות. צורות כדוריות שונות מהמרחב האוקלידי האינסופי לא רק בטופולוגיה העולמית, אלא גם בגיאומטריה קטנה. לדוגמה, מכיוון שקווים ישרים בגיאומטריה כדורית הם עיגולים גדולים, המשולשים שם "שמנמנים" מהאוקלידים, וסכום הזוויות שלהם עולה על 180 מעלות.

בעצם, מדידת משולשים קוסמיים היא הדרך העיקרית לבדוק עד כמה היקום עקום. עבור כל נקודה חמה או קרה על רקע המיקרוגל הקוסמי, ידועים קוטר ומרחקו מכדור הארץ, היוצרים את שלושת צלעות המשולש. נוכל למדוד את הזווית שנוצרת מהנקודה בשמי הלילה - וזו תהיה אחת מפינות המשולש. לאחר מכן נוכל לבדוק אם השילוב של אורכי הצלעות וסכום הזוויות מתאים לגיאומטריה מישורית, כדורית או היפרבולית (כאשר סכום זוויות המשולש קטן מ-180 מעלות).

רוב החישובים הללו, יחד עם מדידות אחרות של עקמומיות, מניחים שהיקום שטוח לחלוטין או קרוב אליו מאוד. צוות מחקר אחד הציע לאחרונה שחלק מהנתונים של 2018 מטלסקופ החלל פלאנק מדברים יותר בעד יקום כדורי, אם כי חוקרים אחרים טענו שניתן לייחס את העדויות שהוצגו לטעות סטטיסטית.

גיאומטריה היפרבולית

שלא כמו כדור, שנסגר על עצמו, גיאומטריה היפרבולית או מרחב עם עקמומיות שלילית נפתחים כלפי חוץ. זוהי הגיאומטריה של הכובע רחב-השוליים, שונית האלמוגים והאוכף. המודל הבסיסי של גיאומטריה היפרבולית הוא מרחב אינסופי, בדיוק כמו אוקלידי שטוח. אבל מכיוון שצורה היפרבולית מתרחבת החוצה הרבה יותר מהר מאשר שטוחה, אין דרך להתאים אפילו מישור היפרבולי דו-ממדי בתוך מרחב אוקלידי רגיל, אם לא נרצה לעוות את הגיאומטריה שלו. אבל יש תמונה מעוותת של המישור ההיפרבולי המכונה דיסק פואנקרה.

מנקודת המבט שלנו, נראה שהמשולשים ליד מעגל הגבול קטנים בהרבה מאלה הקרובים למרכז, אבל מנקודת המבט של הגיאומטריה ההיפרבולית, כל המשולשים זהים. אם ניסינו להציג את המשולשים האלה באמת באותו גודל - אולי באמצעות חומר אלסטי וניפוח כל משולש בתורו, נע מהמרכז החוצה - הדיסק שלנו היה דומה לכובע רחב שוליים ותתכופף יותר ויותר. וכאשר תתקרבו לגבול, העקמומיות הזו תצא משליטה.

בגיאומטריה אוקלידית רגילה, היקף המעגל עומד ביחס ישר לרדיוס שלו, אך בגיאומטריה היפרבולית המעגל גדל באופן אקספוננציאלי ביחס לרדיוס. ערימה של משולשים נוצרת ליד גבול הדיסק ההיפרבולי

בגלל תכונה זו, מתמטיקאים אוהבים לומר שקל ללכת לאיבוד במרחב ההיפרבולי. אם החבר שלך מתרחק ממך במרחב אוקלידי רגיל, הוא יתחיל להתרחק, אבל לאט, כי מעגל הראייה שלך לא גדל כל כך מהר. במרחב ההיפרבולי, מעגל הראייה שלך מתרחב באופן אקספוננציאלי, כך שהחבר שלך יתכווץ בקרוב לכתם קטן לאין שיעור. לכן, אם לא עקבת אחר המסלול שלו, לא סביר שתמצא אותו מאוחר יותר.

אפילו בגיאומטריה היפרבולית, סכום הזוויות של משולש קטן מ-180 מעלות – למשל, סכום הזוויות של כמה משולשים מפסיפס דיסק פואנקרה הוא 165 מעלות בלבד.

נראה שהצדדים שלהם עקיפים, אבל זה בגלל שאנחנו מסתכלים על גיאומטריה היפרבולית דרך עדשה מעוותת. עבור תושב הדיסק פואנקרה, הקימורים הללו הם למעשה קווים ישרים, כך שהדרך המהירה ביותר להגיע מנקודה A לנקודה B (שתיהן בקצה) היא דרך חיתוך למרכז.

ישנה דרך טבעית ליצור אנלוג תלת מימדי של דיסקית הפואנקרה - קחו כדור תלת מימדי ומלאו אותו בצורות תלת מימדיות, שהולכות ופוחתות בהדרגה ככל שהן מתקרבות לכדור הגבול, כמו משולשים על דיסק פואנקרה. וכמו עם מישורים וכדורים, אנו יכולים ליצור שורה שלמה של חללים היפרבוליים תלת מימדיים אחרים על ידי חיתוך חלקים מתאימים של כדור היפרבולי תלת מימדי והדבקת פניו.

ובכן, האם היקום שלנו הוא היפרבולי?

גיאומטריה היפרבולית, עם משולשיה הצרים והמעגלים הגדלים באופן אקספוננציאלי, אינה דומה כלל למרחב שסביבנו. ואכן, כפי שכבר ציינו, רוב המדידות הקוסמולוגיות נוטות לעבר יקום שטוח.

אבל אנחנו לא יכולים לשלול שאנחנו חיים בעולם כדורי או היפרבולי, כי שברים קטנים של שני העולמות נראים כמעט שטוחים. לדוגמה, סכום הזוויות של משולשים קטנים בגיאומטריה כדורית הוא רק מעט יותר מ-180 מעלות, ובגיאומטריה היפרבולית הוא רק מעט פחות.

לכן הקדמונים חשבו שכדור הארץ שטוח - עקמומיות כדור הארץ אינה נראית לעין בלתי מזוינת. ככל שהצורה הכדורית או ההיפרבולית גדולה יותר, כך כל אחד מחלקיו שטוח יותר, לכן, אם ליקום שלנו יש צורה כדורית או היפרבולית גדולה במיוחד, החלק הנראה שלו כל כך קרוב לשטוח עד שניתן לזהות את העקמומיות שלו רק עם מכשירים מדויקים במיוחד, ועוד לא המצאנו אותם…