מה הם פרקטלים: היופי של המתמטיקה והאינסוף

2024 מְחַבֵּר: Seth Attwood | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-16 16:05

הפרקטלים ידועים כבר מאה שנה, נחקרו היטב ויש להם יישומים רבים בחיים. עם זאת, תופעה זו מבוססת על רעיון פשוט מאוד: ניתן להשיג שפע של צורות, אינסופיות ביופיין ובמגוון, ממבנים פשוטים יחסית באמצעות שתי פעולות בלבד - העתקה ושינוי קנה מידה.

מה משותף לעץ, חוף ים, ענן או כלי דם ביד שלנו? במבט ראשון, אולי נראה שלכל החפצים הללו אין שום דבר במשותף. עם זאת, למעשה, יש תכונה אחת של מבנה הטבועה בכל האובייקטים הרשומים: הם דומים לעצמם. מהענף, וכן מגזע העץ, יש ענפים קטנים יותר, מהם - אפילו קטנים יותר וכו', כלומר הענף הוא כמו כל העץ.

מערכת הדם מסודרת באופן דומה: עורקים יוצאים מהעורקים, ומהם - הנימים הקטנים ביותר שדרכם חודר חמצן לאיברים ולרקמות. נתבונן בתמונות לוויין של חוף הים: נראה מפרצים וחצי איים; בואו נסתכל על זה, אבל ממעוף הציפור: נראה מפרצים ושכמיות; עכשיו בואו נדמיין שאנחנו עומדים על החוף ומסתכלים על הרגליים: תמיד יש חלוקי נחל שבולטים למים יותר מהשאר.

כלומר, קו החוף נשאר דומה לעצמו כאשר מתקרבים. המתמטיקאי האמריקני (אם כי גדל בצרפת) בנואה מנדלברוט כינה את התכונה הזו של חפצים "פרקטליות", ולעצמים כאלה עצמם - פרקטלים (מהלטינית fractus - שבורים).

מהו פרקטל?

למושג זה אין הגדרה נוקשה. לכן, המילה "פרקטל" אינה מונח מתמטי. בדרך כלל, פרקטל הוא דמות גיאומטרית העונה על אחת או יותר מהמאפיינים הבאים: • יש לו מבנה מורכב בכל הגדלה (בניגוד, למשל, קו ישר, שכל חלק שלו הוא הדמות הגיאומטרית הפשוטה ביותר - א. קטע קו). • דומה (בערך) לעצמו. • בעל ממד האוסדורף שבריר (פרקטלי), שהוא גדול יותר מהטופולוגי. • ניתן לבנות עם פרוצדורות רקורסיביות.

גיאומטריה ואלגברה

חקר הפרקטלים בתחילת המאות ה-19 וה-20 היה אפיזודי יותר מאשר שיטתי, מכיוון שמתמטיקאים מוקדמים יותר חקרו בעיקר אובייקטים "טובים" שהיו ניתנים למחקר באמצעות שיטות ותיאוריות כלליות. בשנת 1872, המתמטיקאי הגרמני קרל ויירשטראס בונה דוגמה לפונקציה רציפה שאין להבדיל בשום מקום. עם זאת, בנייתו הייתה מופשטת לחלוטין וקשה לתפיסה.

לכן, בשנת 1904, המציא השבדי Helge von Koch עקומה רציפה, שאין לה משיק בשום מקום, והיא די פשוטה לצייר אותה. התברר שיש לו תכונות של פרקטל. אחת הגרסאות של עקומה זו נקראת "פתית השלג של קוך".

רעיונות הדמיון העצמי של דמויות התקבלו על ידי הצרפתי פול פייר לוי, המנטור העתידי של בנואה מנדלברוט. ב-1938 הוא פרסם את מאמרו "עקומות ומשטחים מישוריים ומרחביים, המורכבים מחלקים הדומים לשלם", המתאר פרקטל נוסף - עקומת לוי C. את כל הפרקטלים הנ"ל ניתן לייחס באופן מותנה למחלקה אחת של פרקטלים בונים (גיאומטריים).

מחלקה נוספת היא פרקטלים דינמיים (אלגבריים), הכוללים את קבוצת מנדלברוט. המחקרים הראשונים בכיוון זה החלו בתחילת המאה ה-20 והם קשורים בשמותיהם של המתמטיקאים הצרפתים גסטון ג'וליה ופייר פאטו.ב-1918 פורסם ספר הזיכרונות של יוליה בן כמעט מאתיים עמודים, המוקדש לאיטרציות של פונקציות רציונליות מורכבות, ובו תוארו הסטים של יוליה - משפחה שלמה של פרקטלים הקשורים בקשר הדוק לקבוצת מנדלברוט. עבודה זו זכתה בפרס האקדמיה הצרפתית, אך היא לא הכילה איור אחד, כך שאי אפשר היה להעריך את היופי של החפצים שהתגלו.

למרות העובדה שעבודה זו האדירה את יוליה בקרב המתמטיקאים של אותה תקופה, היא נשכחה במהירות. רק חצי מאה לאחר מכן, המחשבים הגיעו שוב לתשומת לב: הם אלה שהפכו את העושר והיופי של עולם הפרקטלים לגלויים.

מידות פרקטליות

כידוע, הממד (מספר המדידות) של דמות גיאומטרית הוא מספר הקואורדינטות הנדרשות לקביעת מיקומה של נקודה השוכנת על דמות זו.

לדוגמה, מיקום נקודה על עקומה נקבע על ידי קואורדינטה אחת, על משטח (לאו דווקא מישור) על ידי שתי קואורדינטות, במרחב התלת מימדי על ידי שלוש קואורדינטות.

מנקודת מבט מתמטית כללית יותר, ניתן להגדיר את הממד כך: עלייה בממדים ליניאריים, נניח, פעמיים, עבור אובייקטים חד מימדיים (מנקודת מבט טופולוגית) (מקטע) מביאה לגידול בגודל (אורך) פעמיים, עבור דו מימד (מרובע) אותה עלייה בממדים ליניאריים מובילה לגידול בגודל (שטח) פי 4, עבור תלת מימד (קובייה) - פי 8. כלומר, ניתן לחשב את הממד ה"אמיתי" (מה שנקרא Hausdorff) כיחס בין הלוגריתם של עלייה ב"גודל" של עצם ללוגריתם של עלייה בגודלו הליניארי. כלומר, עבור הקטע D = log (2) / log (2) = 1, עבור המישור D = log (4) / log (2) = 2, עבור נפח D = log (8) / log (2)) = 3.

כעת נחשב את מימד עקומת קוך, שלצורך בנייתה קטע היחידה מחולק לשלושה חלקים שווים והמרווח האמצעי מוחלף במשולש שווה צלעות ללא קטע זה. עם עלייה במידות הליניאריות של המקטע המינימלי שלוש פעמים, אורך עקומת קוך גדל בלוג (4) / לוג (3) ~ 1, 26. כלומר, הממד של עקומת קוך הוא חלקי!

מדע ואמנות

בשנת 1982 יצא לאור ספרו של מנדלברוט "הגיאומטריה הפרקטלית של הטבע", בו אסף וערך המחבר כמעט את כל המידע שהיה קיים באותה תקופה על פרקטלים והציגו בצורה קלה ונגישה. בהצגתו שם מנדלברוט את הדגש העיקרי לא על נוסחאות מסורבלות ומבנים מתמטיים, אלא על האינטואיציה הגאומטרית של הקוראים. הודות לאיורים ממוחשבים ולסיפורים היסטוריים, שבהם דילל המחבר במיומנות את המרכיב המדעי של המונוגרפיה, הספר הפך לרב מכר, והפרקטלים נודעו לציבור הרחב.

הצלחתם בקרב לא מתמטיקאים נובעת במידה רבה מהעובדה שבעזרת מבנים ונוסחאות פשוטות ביותר שתלמיד תיכון יכול להבין, מתקבלות תמונות בעלות מורכבות ויופי מדהימים. כשהמחשבים האישיים הפכו לחזקים מספיק, הופיעה אפילו טרנד שלם באמנות - ציור פרקטל, וכמעט כל בעל מחשב יכול היה לעשות זאת. עכשיו באינטרנט, אתה יכול למצוא בקלות אתרים רבים המוקדשים לנושא זה.

מלחמה ושלום

כפי שצוין לעיל, אחד מהאובייקטים הטבעיים בעלי תכונות פרקטליות הוא קו החוף. סיפור מעניין אחד קשור אליו, או ליתר דיוק, בניסיון למדוד את אורכו, שהיווה בסיס למאמרו המדעי של מנדלברוט, ומתואר גם בספרו "הגיאומטריה הפרקטלית של הטבע".

זהו ניסוי שבוצע על ידי לואיס ריצ'רדסון, מתמטיקאי, פיזיקאי ומטאורולוג מוכשר ואקסצנטרי. אחד מכיווני המחקר שלו היה ניסיון למצוא תיאור מתמטי של הסיבות והסבירות לסכסוך מזוין בין שתי המדינות. בין הפרמטרים שהוא לקח בחשבון היה אורך הגבול המשותף של שתי המדינות הלוחמות.כאשר אסף נתונים לניסויים מספריים, הוא גילה שבמקורות שונים הנתונים על הגבול המשותף בין ספרד לפורטוגל שונים מאוד.

זה גרם לו לגלות את הדברים הבאים: אורך גבולותיה של מדינה תלוי בסרגל שאיתו אנו מודדים אותם. ככל שהקנה מידה קטן יותר, הגבול ארוך יותר. זאת בשל העובדה שעם הגדלה גבוהה יותר ניתן לקחת בחשבון יותר ויותר עיקולי חוף, שבעבר התעלמו מהם בגלל חספוס המדידות. ואם, עם כל עלייה בקנה מידה, ייפתחו עיקולי הקווים שלא נחשפו קודם לכן, אז יתברר שאורך הגבולות הוא אינסופי! נכון, במציאות זה לא קורה - לדיוק המדידות שלנו יש גבול סופי. הפרדוקס הזה נקרא אפקט ריצ'רדסון.

פרקטלים קונסטרוקטיביים (גיאומטריים)

האלגוריתם לבניית פרקטל בונה במקרה הכללי הוא כדלקמן. קודם כל צריך שתי צורות גיאומטריות מתאימות, נקרא להן בסיס ושבר. בשלב הראשון, הבסיס של הפרקטל העתידי מתואר. ואז חלק מחלקיו מוחלפים בשבר שנלקח בקנה מידה מתאים - זוהי האיטרציה הראשונה של הבנייה. לאחר מכן, הדמות המתקבלת משנה שוב חלקים מסוימים לדמויות הדומות לשבר, וכן הלאה. אם נמשיך בתהליך זה ללא הגבלת זמן, אז בגבול נקבל פרקטל.

הבה נשקול תהליך זה באמצעות עקומת Koch כדוגמה. כבסיס לעקומת קוך, אתה יכול לקחת כל עקומה (עבור "פתיתי השלג של קוך" זה משולש). אבל נגביל את עצמנו למקרה הפשוט ביותר - קטע. שבר הוא קו שבור המוצג בחלק העליון באיור. לאחר האיטרציה הראשונה של האלגוריתם, במקרה זה, הקטע הראשוני יתאים למקטע, ואז כל אחד מהמקטעים המרכיבים אותו יוחלף בקו שבור, בדומה לשבר, וכו'. האיור מציג את ארבעת השלבים הראשונים של התהליך הזה.

בשפת המתמטיקה: פרקטלים דינמיים (אלגבריים)

פרקטלים מסוג זה מתעוררים בחקר מערכות דינמיות לא ליניאריות (ומכאן השם). ניתן לתאר את ההתנהגות של מערכת כזו על ידי פונקציה לא ליניארית מורכבת (פולינום) f (z). קח איזו נקודת התחלה z0 במישור המורכב (ראה סרגל צד). כעת שקול רצף אינסופי כזה של מספרים במישור המורכב, שכל אחד מהאפשרויות הבאות מתקבל מהקודם: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

בהתאם לנקודה ההתחלתית z0, רצף כזה יכול להתנהג אחרת: נוטה לאינסוף כמו n -> ∞; להתכנס לנקודת קצה כלשהי; לקחת באופן מחזורי מספר ערכים קבועים; אפשר גם אפשרויות מורכבות יותר.

מספרים מסובכים

מספר מרוכב הוא מספר המורכב משני חלקים - ממשי ודמיוני, כלומר הסכום הפורמלי x + iy (כאן x ו-y הם מספרים ממשיים). אני מה שנקרא. יחידה דמיונית, כלומר, מספר המקיים את המשוואה i ^ 2 = -1. הפעולות המתמטיות הבסיסיות מוגדרות על פני מספרים מרוכבים - חיבור, כפל, חילוק, חיסור (רק פעולת ההשוואה אינה מוגדרת). כדי להציג מספרים מרוכבים משתמשים לרוב בייצוג גיאומטרי - במישור (זה נקרא מורכב), החלק הממשי מונח על האבשיסה, והחלק הדמיוני על הסמכה, בעוד שהמספר המרוכב יתאים לנקודה עם קרטזית. קואורדינטות x ו-y.

לפיכך, לכל נקודה z של המישור המורכב יש אופי התנהגות משלה במהלך איטרציות של הפונקציה f (z), והמישור כולו מחולק לחלקים. במקרה זה, לנקודות השוכנות על הגבולות של חלקים אלה יש את המאפיין הבא: עבור תזוזה קטנה באופן שרירותי, אופי ההתנהגות שלהן משתנה בחדות (נקודות כאלה נקראות נקודות התפצלות). אז, מסתבר שלקבוצות של נקודות עם סוג מסוים של התנהגות, כמו גם לקבוצות של נקודות התפצלות, יש לרוב תכונות פרקטליות. אלו הן קבוצות יוליה עבור הפונקציה f (z).

משפחה של דרקונים

על ידי שינוי הבסיס והשבר, אתה יכול לקבל מגוון מדהים של פרקטלים בונים.

יתרה מכך, ניתן לבצע פעולות דומות במרחב תלת מימדי. דוגמאות לפרקטלים נפחיים הם הספוג של מנגר, פירמידת סיירפינסקי ואחרות.

משפחת הדרקונים מכונה גם פרקטלים בונים. לפעמים הם נקראים על שם המגלים "דרקוני הכביש המהיר-הארטר" (בצורתם הם דומים לדרקונים סיניים). ישנן מספר דרכים לשרטט עקומה זו. הפשוט והאינטואיטיבי שבהם הוא זה: אתה צריך לקחת רצועת נייר ארוכה מספיק (ככל שהנייר דק יותר, כך ייטב), ולקפל אותו לשניים. ואז לכופף אותו שוב פעמיים באותו כיוון כמו בפעם הראשונה.

לאחר מספר חזרות (בדרך כלל לאחר חמישה או שישה קיפולים, הרצועה נעשית עבה מכדי להיות מכופפת בצורה מסודרת יותר), עליך לשחרר את הרצועה לאחור ולנסות ליצור זוויות של 90˚ בקפלים. ואז העיקול של הדרקון יתברר בפרופיל. כמובן, זה יהיה רק בקירוב, כמו כל הניסיונות שלנו לתאר אובייקטים פרקטליים. המחשב מאפשר לתאר שלבים רבים נוספים בתהליך זה, והתוצאה היא דמות יפה מאוד.

סט מנדלברוט בנוי בצורה מעט שונה. שקול את הפונקציה fc (z) = z ^ 2 + c, כאשר c הוא מספר מרוכב. הבה נבנה רצף של פונקציה זו עם z0 = 0, בהתאם לפרמטר c, היא יכולה להתפצל עד אינסוף או להישאר מוגבלת. יתר על כן, כל הערכים של c שעבורם רצף זה מוגבל יוצרים את קבוצת מנדלברוט. זה נחקר בפירוט על ידי מנדלברוט עצמו ומתמטיקאים אחרים, שגילו תכונות מעניינות רבות של קבוצה זו.

רואים שההגדרות של קבוצות יוליה ומנדלברוט דומות זו לזו. למעשה, שני הקבוצות הללו קשורות קשר הדוק. כלומר, קבוצת מנדלברוט היא כל הערכים של הפרמטר המורכב c שעבורו מחובר קבוצת יוליה fc (z) (קבוצה נקראת מחוברת אם לא ניתן לפצל אותה לשני חלקים מפורקים, עם כמה תנאים נוספים).

פרקטלים וחיים

כיום, תורת הפרקטלים נמצאת בשימוש נרחב בתחומים שונים של פעילות אנושית. בנוסף לאובייקט מדעי גרידא למחקר ולציור הפרקטלי שהוזכר כבר, פרקטלים משמשים בתורת המידע לדחיסת נתונים גרפיים (כאן משתמשים בעיקר בתכונת הדמיון העצמי של פרקטלים - אחרי הכל, על מנת לזכור קטע קטן של ציור וטרנספורמציות שאיתם אתה יכול לקבל את שאר החלקים, הרבה פחות נדרש זיכרון מאשר לאחסון הקובץ כולו).

על ידי הוספת הפרעות אקראיות לנוסחאות המגדירות את הפרקטל, ניתן להשיג פרקטלים סטוכסטיים המעבירים באופן סביר כמה אובייקטים אמיתיים - אלמנטים תבליט, פני השטח של גופי מים, כמה צמחים, המשמש בהצלחה בפיזיקה, גיאוגרפיה וגרפיקה ממוחשבת כדי להשיג יותר דמיון של עצמים מדומים עם אמיתי. באלקטרוניקה מייצרים אנטנות בעלות צורה פרקטלית. תופסים מעט מקום, הם מספקים קליטת אות באיכות גבוהה למדי.

כלכלנים משתמשים בפרקטלים כדי לתאר עקומות שער מטבע (נכס שהתגלה על ידי מנדלברוט). זה מסיים את הטיול הקטן הזה לעולם היפה והמגוון להפליא של פרקטלים.